Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点．（1）求A1D与平面AD1E所成的角；（2）

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点．（1）求A1D与平面AD1E所成的角；（2）求二面角D-CE-D1的平面角的正切值．

Answer 1

（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AD=AA₁=1，∴A₁D⊥AD₁
又∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥侧面ADD₁A₁，
A₁D?侧面ADD₁A₁，
∴A₁D⊥AB即A₁D⊥AE，
∵AD₁∩AE=A，AD₁，AE?面AD₁E，
∴AD₁⊥面AD₁E，即A₁D与平面AD₁E所成的角为90°；
（2）连结DE，在矩形ABCD中，
∵AB=2，AD=1，且E为AB之中点，∴DE⊥CE且DE＝

2

，
又∵DD₁⊥底面ABCD，CE?底面ABCD，∴DD₁⊥CE，
∵DD₁∩DE=D，DD₁、DE?面DD₁E，∴CE⊥面DD₁E，
∵D₁E?面DD₁E，∴D₁E⊥CE，
因此，∠DED₁是二面角D-CE-D₁的平面角
在Rt△DD₁E中，tan∠DED1＝

DD1

DE

＝

1

2

＝

2

2

，即二面角D-CE-D₁的平面角的正切值为

2

2

．