Question

下列命题正确的是（　　）A．如果函数f（x，y）在（x0，y0）点偏导数存在，则f（x，y）在（x0，y0）点极

下列命题正确的是（　　）A．如果函数f（x，y）在（x0，y0）点偏导数存在，则f（x，y）在（x0，y0）点极限存在B．如果函数f（x，y）在（x0，y0）点可微，则f（x，y）在（x0，y0）点连续且偏导数存在C．如果函数f（x，y）在（x0，y0）点可微，则f（x，y）在（x0，y0）点偏导数连续D．如果函数f（x，y）在（x0，y0）点处沿任何方向的方向导数都存在，则f（x，y）在（x0，y0）点偏导数存在

Answer 1

①选项A．如：f(x，y)＝

xy x2+y2 ，(x，y)≠(0，0) 0 ，(x，y)＝(0，0)

，容易求得f_x（0，0）=f_y（0，0）=0，但是

lim

(x，y)→(0，0)

f(x，y)不存在，因为沿着y=kx趋于（0，0）时，极限值与k有关
故A错误．
②选项B．由于f（x，y）在（x₀，y₀）点可微，即△f=f（x₀+△x，y₀+△y）-f（x₀，y₀）=A△x+B△y+o（ρ）
因此

lim

(x，y)→(x0，y0)

f(x0+△x，y0+△y)=

lim

ρ→0

[f(x0，y0)+△f]＝f(x0，y0)，即连续
在△f=f（x₀+△x，y₀+△y）-f（x₀，y₀）=A△x+B△y+o（ρ）中，令△y=0
则有f（x₀+△x，y₀）-f（x₀，y₀）=A△x+o（|△x|），两端处于△x，并令△x→0，得

lim

△x→0

f(x0+△x，y0)?f(x0，y0)

△x

＝fx(x0，y0)，同理f_y（x₀，y₀）也存在．
故B正确．
③选项C．偏导数存在且连续?可微分，但反之不成立．
故C错误．
④选项D．只要函数f（x，y）在（x₀，y₀）点处只要沿X轴和Y轴的正负两个方向的方向导数都存在，则函数f（x，y）在（x₀，y₀）点处的两个偏导数存在．
选项D的条件太过于强大，不能说是因果关系．
故D错误
故选：B．