(1)用函数单调性定义证明f(x)=x+2x在x∈(0,2)上是减函数;(2)求函数y=2(x2+x)x?1(2≤x<4)的

(1)用函数单调性定义证明f(x)=x+2x在x∈(0,2)上是减函数;(2)求函数y=2(x2+x)x?1(2≤x<4)的值域.... (1)用函数单调性定义证明f(x)=x+2x在x∈(0,2)上是减函数;(2)求函数y=2(x2+x)x?1(2≤x<4)的值域. 展开
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世嘉NFKXXTE
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解答:(1)证明:设x1,x2是(0,
2
)上的任意两个值,且x1<x2
则x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)=x2+
2
x2
-x1?
2
x1
=(x2-x1)+
2(x1?x2)
x1x2
=(x2-x1?
x1x2?2
x1x2

∵0<x1
2
,0<x2
2

∴0<x1x2<2,x1x2-2<0,
又x2-x1>0,
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<fx1),
∴f(x)=x+
2
x
在x∈(0,
2
)上是减函数;
(2)令t=x-1(1≤t<3),则x=t+1,
∴y=
2[(t+1)2+(t+1)]
t
=
2(t2+3t+2)
t
=2(t+
2
t
+3),
由(1)知y=2(t+
2
t
+3)在x∈(0,
2
)上单调递减,
同理可证y=2(t+
2
t
+3)在(
2
,+∞)上单调递增,
∴当t=
2
即x=
2
+1时,ymin=2(3+2
2
),当t=3即x=4时,y=
40
3
;当t=1即x=2时,y=12;
∴原函数的值域为[2(3+2
2
),
40
3
).
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