Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以O为圆心、OC为半径的圆与AB相切于点D，交AC于点E．（1

已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以O为圆心、OC为半径的圆与AB相切于点D，交AC于点E．（1）求证：DE ∥ OB；（2）若⊙O的半径为2，BC=4，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，CO是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线， 又∵AB与⊙O相切， ∴OC=OD，且BO为∠CBA的角平分线， ∴BO⊥CD，（3分） 又∵CE是⊙O的直径，且C是⊙O上一点， ∴DE⊥CD， ∴DE ∥ OB；（5分） （2）∵DE ∥ OB， ∴ AD DB = AE EO ， 又BD=BC=4，OE=2， ∴ AD 4 = AE 2 ，即AD=2AE，（7分） 又AD、AC分别是⊙O的切线和割线， ∴AD 2 =AE?AC，即AD 2 =AE?（AE+4），（9分） ∴AD 2 = AD 2 ?（ AD 2 +4），可得AD= 8 3 ．

Answer 2