Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF ∥ AC交CE的延长线于点F

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF ∥ AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．

Answer 1

证明：连接DF， ∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠BCE=∠CAE． ∵AC⊥BC，BF ∥ AC． ∴BF⊥BC． ∴∠ACD=∠CBF=90°， ∵AC=CB， ∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF． ∵CD=BD= 1 2 BC，∴BF=BD． ∴△BFD为等腰直角三角形． ∵∠ACB=90°，CA=CB， ∴∠ABC=45°． ∵∠FBD=90°， ∴∠ABF=45°． ∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线． ∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线， 即AB垂直平分DF．

Answer 2

在Rt△ACD和Rt△AED中，
因为∠ACD=90°，∠CED=90°,
所以∠CAD=∠ECD
因为BF∥AC，∠ACD=∠CBF=90°
在Rt△ACD和Rt△CBF中，
AC=BC,
∠CAD=∠FCB,
所以Rt△ACD和Rt△CBF全等BF=CD
又因D是BC的中点，所以BF=BD,△DBF是等腰三角形
因为BF∥AC，
所以，∠CAB=∠ABF,
又因AB=BC
,所以，∠ACB=∠CBA=∠AB,FAB是,△DBF顶角的角平分线，
所以AB垂直平分DF