Question

已知f（x）=x 2 -2ax+5（a＞1）（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间

已知f（x）=x 2 -2ax+5（a＞1）（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x 1 ，x 2 ∈[1，a+1]，总有|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≤4，求a的取值范围．

Answer 1

f（x）=（x-a） 2 +5-a 2 （I）．由f（x）的对称轴是x=a知函数在[1，a]递减， 故 f(1)=a f(a)=1 ，解可得a=2 （II）由f（x）在区间（-∞，2]上是减函数得a≥2， 当f（x 1 ）、f（x 2 ）分别是函数f（x）的最小值与最大值时不等式恒成立． 故函数在区间[1，a+1]上的最小值是f（a）=5-a 2 ， 又因为a-1≥（a+1）-a，所以函数的最大值是f（1）=6-2a， 由|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≤4知（6-2a）-（5-a 2 ）≤4，解得2≤a≤3．