已知数列{an}的前n项和Sn=n(a1+an)2．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）若an=2n-1，数列{bn}满足：b1
已知数列{an}的前n项和Sn=n(a1+an)2．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）若an=2n-1，数列{bn}满足：b1=3，bn-bn-1=an+1（n≥...
已知数列{an}的前n项和Sn=n(a1+an)2．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）若an=2n-1，数列{bn}满足：b1=3，bn-bn-1=an+1（n≥2），求数列{1bn}的前n项和Tn．
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1个回答
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（1）证明：由Sn=
，
当n≥2时，Sn?1＝
，
∴an=Sn-Sn-1=
-
．
同理有an+1=
-
，
从而an+1-an=
-n（a1+an）+
，
整理得an+1-an=an-an-1=a2-a1．
从而{an}是等差数列；
（2）∵an=2n-1，数列{bn}满足：b1=3，bn-bn-1=an+1（n≥2），
∴bn-bn-1=2n+1，
则b2-b1=2?2+1．
b3-b2=2?3+1．
b4-b3=2?4+1．
…
bn-bn-1=2n+1（n≥2）．
∴bn-b1=2（2+3+4+…+n）+n-1．
∴bn＝3+2?
+n?1=n（n+2）．
＝
＝
(
?
)．
∴数列{
}的前n项和Tn=
[(1?
)+(
?
)+(
?
)+…+(
?
)+(
?
| n(a1+an) |
| 2 |
当n≥2时，Sn?1＝
| (n?1)(a1+an?1) |
| 2 |
∴an=Sn-Sn-1=
| n(a1+an) |
| 2 |
| (n?1)(a1+an?1) |
| 2 |
同理有an+1=
| (n+1)(a1+an+1) |
| 2 |
| n(a1+an) |
| 2 |
从而an+1-an=
| (n+1)(a1+an+1) |
| 2 |
| (n?1)(a1+an?1) |
| 2 |
整理得an+1-an=an-an-1=a2-a1．
从而{an}是等差数列；
（2）∵an=2n-1，数列{bn}满足：b1=3，bn-bn-1=an+1（n≥2），
∴bn-bn-1=2n+1，
则b2-b1=2?2+1．
b3-b2=2?3+1．
b4-b3=2?4+1．
…
bn-bn-1=2n+1（n≥2）．
∴bn-b1=2（2+3+4+…+n）+n-1．
∴bn＝3+2?
| (n+2)(n?1) |
| 2 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| n(n+2) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+2 |
∴数列{
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| n?1 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n |
