Question

已知抛物线C：x 2 =2py(p＞0)上一点A(m，4)到其焦点的距离为 ，(Ⅰ)求p与m的值；(Ⅱ)设抛物线C上一点P的

已知抛物线C：x 2 =2py(p＞0)上一点A(m，4)到其焦点的距离为 ，(Ⅰ)求p与m的值；(Ⅱ)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t＞0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值．

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Answer 1

解：(Ⅰ)由抛物线的定义，得 ， 又m 2 =8p，所以 。 (Ⅱ)由p= 得抛物线的方程为y=x 2 ， 由题意可知，直线PQ的斜率存在且不为0， 设直线PQ的方程为：y-t 2 =k（x-t）(k≠0)， 令y=0，得 ， 解方程组 ，得 ， 由NQ⊥PQ，得直线NQ的方程为：y-（k-t） 2 = ， 解方程组 ，得 ， 于是抛物线C在点N处的切线方程为 ，① 将点M的坐标代入式①，得 ，② 当 时， ， 故k＞0，此时， ； 当 时，由式②得 ， 即 ，此时 ， 因为t＞0，所以 ， 当 时， ，符合题意； 综上，t的最小值为 。