Question

已知圆 O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则AB的中点Q的轨迹方程为___

已知圆 O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则AB的中点Q的轨迹方程为______．

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点Q（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
又P（1，1），且PA⊥PB，
∴

|AB|

2

＝|PQ|，即|AB|²=4|PQ|²，
则(x1?y1)2+(x2?y2)2＝4(x?1)2+4(y?1)2．
整理得：x12+y12+x22+y22?2(x1y1+x2y2)＝4(x?1)2+4(y?1)2     ①
又∵点A、B在圆上，∴x12+y12＝x22+y22＝4    ②
再由PA⊥PB，得

PA

?

PB

＝0，即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0．
整理得：x₁x₂+y₁y₂-（x₁+x₂）-（y₁+y₂）+2=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x+2y-2   ③
把②③代入①得：(x?

1

2

)2+(y?

1

2

)2＝

3

2

．
∴AB的中点Q的轨迹方程为(x?

1

2

)2+(y?

1

2

)2＝

3

2

．
故答案为：(x?

1

2

)2+(y?

1

2

)2＝

3

2

．