如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若E...
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若EB=3CE，证明：DE∥平面A1MC1；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．
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解法一：
（1）证明：取BC中点N，连结MN，C1N，
∵M，N分别是AB，CB的中点，
∴MN∥AC∥A1C1，
∴A1，M，N，C1四点共面，
且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，
又EB=3CE，即E为NC的中点，
∴DE∥C1N，
又DE不包含于平面A1MC1，
∴DE∥平面A1MC1．
（2）解：连结B1M，∵AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，
∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，
∵CA⊥AA1，CA⊥AB，AB∩AA1=A，∴CA⊥平面ABB1A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，
∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，
∴B1C1与平面A1MC1所成角为∠B1C1M，
又B1C1∥BC，
∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角，
设AB=2AA1=2，且△A1MC1是等腰三角形，
∴A1M＝A1C1＝
，
则MC1＝2，B1C1＝
，
∴cos∠B1C1M＝
=
，
∴直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值为
．
解法二：
（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，又AC⊥AB，
∴以A为原点，以AB为x轴，以AA1为y轴，以AC为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=2AA1=2，又△A1MC1是等腰三角形，
∴A1（0，1，0），M（1，0，0），C1(0，1，
（1）证明：取BC中点N，连结MN，C1N，
∵M，N分别是AB，CB的中点，
∴MN∥AC∥A1C1，
∴A1，M，N，C1四点共面，
且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，
又EB=3CE，即E为NC的中点，
∴DE∥C1N，
又DE不包含于平面A1MC1，
∴DE∥平面A1MC1．
（2）解：连结B1M，∵AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，
∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，
∵CA⊥AA1，CA⊥AB，AB∩AA1=A，∴CA⊥平面ABB1A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，
∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，
∴B1C1与平面A1MC1所成角为∠B1C1M，
又B1C1∥BC，
∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角，
设AB=2AA1=2，且△A1MC1是等腰三角形，
∴A1M＝A1C1＝
| 2 |
则MC1＝2，B1C1＝
| 6 |
∴cos∠B1C1M＝
| MC1 |
| B1C1 |
| ||
| 3 |
∴直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值为
| ||
| 3 |
解法二：
（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，又AC⊥AB，
∴以A为原点，以AB为x轴，以AA1为y轴，以AC为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=2AA1=2，又△A1MC1是等腰三角形，
∴A1（0，1，0），M（1，0，0），C1(0，1，
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