Question

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．（1）求证：BD=AE．（

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．（1）求证：BD=AE．（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G （如图2），其他条件不变，求证：BD=AE．（3）在（2）的情况下，若CE的延长线过AB的中点F（如图3），连接GF，求证：∠AFE=∠BFG．

Answer 1

解答：证明：（1）∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△ADB和△CEA中，

∠BDA＝∠AEC ∠3＝∠1 AB＝AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE；

（2）∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAD+∠CAE=90°，
∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，

∠BDA＝∠CEA ∠BAD＝∠ACE AB＝AC

，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE；

（3）过B作BP∥AC交MN于P，
∵BP∥AC，
∴∠PBA+∠BAC=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠PBA=∠BAC=90°，
由（2）得：∠BAP=∠ACF，
∴在△ACF和△ABP中，

∠PBA＝∠FAC AB＝AC ∠BAP＝∠ACF

，
∴△ACF≌△ABP（ASA），
∴∠AFC=∠BPA，AF=BP
∵BF=AF，
∴BF=BP，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
又∵∠PBA=90°，
∴∠PBG=45°，
∴∠ABC=∠PBG，
在△BFG和△BPG中，

BF＝BP ∠FBG＝∠PBG BG＝BG

，
∴△BFG≌△BPG（SAS），
∴∠BPG=∠BFG，
∵∠BPG=∠AFE，
∴∠BFG=∠AFE．

Answer 2

解，﹤BAC=<DAB+<CAE=90
﹤CEA=<ADB=90，<ACE+<CAE=90则
<DAB=<ACE，AB=AC则厶ABD≌厶CAE
则BD=AE