Question

再求教各位高手一个奥数问题，谢谢！

某班在课堂上进行计算游戏，老师首先在黑板上写一个大于2000小于3000的整数，第一个学生将老师写的数减1，然后乘以3/4，将所得结果写在黑板上，第二个学生再将第一个学生所写的数减1，然后乘以3/4，再写到黑板上，以此类推，全部写完后发现前5个学生写的都是整数，那么第五个学生在黑板上写的数是多少？

Answer 1

先举个简单的例子：
13这个数，减1再乘3/4，得到9；然后9也减1再乘3/4，得到6。
之所以要减1，是因为13、9都是除以4余1的数，也就是黑板上写的
前5个数（老师的+4个学生的）都应该是除以4余1的数。
但这并不好算，我们换一个角度：
第一次不再减1而是加上3，因为这样也能保证能被4整除：
13，加3再乘3/4，得到12（比9大3）；然后12直接乘3/4，得到9（比6大3）。
会发现现在每次得到的数都比正常情况下应该得到的数大3，这就是本题的关键，也就是技巧。

题目转化为：先把老师的数加3，再乘5次3/4，得到的还是整数（比应该的结果大3）。

所以只要考虑2000~3000之间的4^5的倍数就好（保证能整除得到整数）。
而这样的数就是2048。（所以老师写的数应该是2045）
那么第五个学生写的数就是：
2048×(3/4)^5-3=483

验证：
2045，1533，1149，861，645，483

Answer 2

第一次老师写的设为N,如果把老师的数加3,设为N'=N+3

第一个学生得到的数S1=(N-1)*3/4, 而对N'可以直接乘以3/4,得S1'=N'*3/4=(N-1+4)*3/4=S1+3, S1是整数,则S1'也是整数

第二个学生得到的数S2=(S1-1)*3/4, 而S2'=S1'*3/4=(S1+3)*3/4=S2+3
第三个学生得到的数S3=(S2-1)*3/4, 而S3'=S2'*3/4=(S2+3)*3/4=S3+3
同样第四个学生得到的数是S4, 而S4'=S4+3
第五个学生得到的数S5, 而S5'=S5+3 也是整除

可以发现如果对老师的数加3后,乘上(3/4)^5得到的数也是整数,且比实际的数大3

4^5=1024, 在2000-3000之间取它的2倍,得到2048, 老师写的数是2048-3=2045
第五个学生写的是:2048*(3/4)^5-3=485

把N先加上3的目的是保证每次可以不用先减1,而可以直接乘以3/4,结果仍然是整数.且比应该得到的数刚好大3.

Answer 3

2000<x<3000
3/4(x-1)

[3/4(x-1)-1]*3/4

剩下的自己推吧