Question

高一数学求解答12 13题

Answer 1

12、（1）在a=0.5 的条件下，函数分为一段二次函数和一段对数函数，二次函数对称轴为x=1.5,开口向上，所以在x<1的范围内都是减函数，此时令x=1（二次函数部分值为-2）得到 f(x)>-2, 对数部分在（0，正无穷）都是减函数，限制在[1，正无穷）也是减函数，所以这部分f(x)<=f(1)=0,所以值域是（-2，正无穷）并（负无穷，0）
（2）根据（1）的分析我们知道，其实只要使二次函数的对称轴不小于x=1，同时对数部分底数在（0,1）之间，并且二次部分最小值大于等于对数部分最大值0，就一定能保证是减函数(动手画图更直观，so easy) ，根据这些条件列式：(4a+1)/2>=1 ; 0<a<1; 所以1/4<=a<1

13、（1）首先f(1)=1,可以列出里层二次函数当x=1时等于4，即a+2+3=4,所以a=-1,，为了方便先确定函数定义域为（-1,3）接着是求复合函数增减性，内外两层函数同增同减为增，一增一减是减，外层已经是增函数了，增减性由里层决定，二次函数对称轴为x=1,开口向上，所以二次函数在（-1,1）减，在[1,3）增，所以f(x)增减区间为（-1,1）减，在[1,3）增
（2）我们看到（1）中f(x)存在最小值为x=1时的值，为1，那么我们就可以考虑使得函数在定义域内有一减一增的两部分(V型) 或者 是一直是单调也可（有限区间），那当a<0时是不行的，当a=0时里层是一次函数，此时f(x)定义域为x>-1.5,是增函数，此时令f(x)=0，得到x=-1, 在其定义域内,但f(x)=0不是最小值，所以a=0不满足；当a>0是，令f(x)=0,我们得到二次函数等于1，同时又要满足二次函数的值域不能<0,(至此问题已经转化为一个二次不等式的问题),得到，第一个式子只要判别式为零就满足，解得a=0.5,第二个式子，在a=0.5条件下，天然>=1,而此时二次函数是在R上都>=1,并且对称轴左右是一减一增，所以f(x)也一减一增，所以a=0.5也满足，所以存在a=0.5时，最小值为0