Question

如图 圆o是三角形ABC的外接圆且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D

如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．（1）求证：∠ADB=∠E；（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

证明：
（1）
因为：AB=AC（已知）
所以：∠ABC=∠C（三角形中，等边对等角）
因为：∠ADB=∠C（同弧所对的圆周角相等）
所以：∠ABC=∠ADB
因为：DE∥BC（已知）
所以：∠ABC=∠E（平行线同位角相等）
所以：∠ADB=∠E
（2）连接AO，延长交BC于G，交圆于H。
结论：当D运行到H点时，DE是圆的切线。
证明：
因为：AB弧=AC弧（等弦对等弧），AH是直径（所做）
所以：AH⊥BC（平分圆弧的直径，也垂直圆弧所对的弦）
所以：∠AHE=∠AGB=90°（平行线同位角相等）
所以：AH是圆的切线（过直径一端，垂直于直径的直线是圆的切线）
（3）设圆的半径为r。连接OB，则OA=OB=r。
已知：AD=5，BC=6
则：BG=3（垂直于弦的直径平分弦），AG=4（勾股定理）
在RT⊿BOG中，OG²+BG²=OB²，即：(4-r)²+3²=r²，解得：r=25/8