Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B（0，8），直线y=2与直线AB交于点C，与

已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B（0，8），直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；（1）求直线AB的解析式；（2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设直线AB解析式为：y=kx+b，
把A，B的坐标代入得

4k+b＝0 b＝8

，
解得k=-2，b=8．
所以直线AB的解析为：y=-2x+8；

（2）①当∠EDF=90°时，点E与点C重合，E₁（3，2），
FD=CD=3，
∴F₁（0，5）或F₂（0，-1），
②当∠DFE=90°时，FD=FE，
令F（0，m），则E(

8?m

2

，m)
FD=|2-m|，FE=|

8?m

2

|
∵FD=FE
∴|2-m|=|

8?m

2

|
解得m=4或m=-4
∴E₂（2，4），F₃（0，4）；
E₃（6，-4），F₄（0，-4）．
③当∠DEF=90°时，ED=EF，
由②可得E₂（2，4）时，F₅（0，6），
E₃（6，-4）时，F₆（0，-10），
综上，当E₁（3，2），F₁（0，5）或F₂（0，-1）；
E₂（2，4），F₃（0，4），F₅（0，6）；
E₃（6，-4），F₄（0，-4），F₆（0，-10）时，△DEF为等腰直角三角形．