已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值点和极值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2
已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值点和极值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．（3）当a=34时，是否同时存在实数...
已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值点和极值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．（3）当a=34时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x），x∈[1，2]都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．
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（1）∵f′（x）=
-a=
(x＞0)，
∴当a≤0时，f′（x）=
＞0，即函数f（x）的增区间为（0，+∞），此时f（x）无极值点；
当a＞0时，令f′（x）=
=0得，x=
＞0．列表如下：
由上表知：函数f（x）的极值点为x=
，且在该极值点处有极大值为f（
）=-lna-1．…（4分）
（2）由（1）知：当a＞0时，函数f（x）的增区间为（0，
），减区间为（
，+∞）．
①若
≤1即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以（f（x））min=f（2）=ln2-2a，；
②若
≥2，即0＜a≤
时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以（f（x））min=f（1）=-a，；
③若1＜
＜2，即
＜a＜1时，函数f（x）在区间（1，
）上为增函数，在区间（
，2）为减函数，
又f（2）-f（1）=ln2-a，所以，当
＜a＜ln2时，（f（x））min=f（1）=-a，；
当ln2≤a＜1时，（f（x））min=f（2）=ln2-2a，
综上可知：当0＜a＜ln2时，（f（x））min=f（1）=-a，；
当a≥ln2时，（f（x））min=f（2）=ln2-2a，
（3）当a=
时，由（2）知函数f（x）在区间（1，
）上为增函数，在区间（
，2）为减函数，
所以（f（x））min=f（
）=ln
| 1 |
| x |
| 1?ax |
| x |
∴当a≤0时，f′（x）=
| 1?ax |
| x |
当a＞0时，令f′（x）=
| 1?ax |
| x |
| 1 |
| a |
| x | （0，
|
| （
| ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | ||||||
| f（x） | 单调增 | 极大值 | 单调减 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
（2）由（1）知：当a＞0时，函数f（x）的增区间为（0，
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
①若
| 1 |
| a |
②若
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2 |
③若1＜
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
又f（2）-f（1）=ln2-a，所以，当
| 1 |
| 2 |
当ln2≤a＜1时，（f（x））min=f（2）=ln2-2a，
综上可知：当0＜a＜ln2时，（f（x））min=f（1）=-a，；
当a≥ln2时，（f（x））min=f（2）=ln2-2a，
（3）当a=
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所以（f（x））min=f（
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