Question

等差数列{an}的首项为a1，公差d=-1，前n项和为Sn，其中a1∈{-1，1，2}（I ）若存在n∈N，使Sn=-5成立，求

等差数列{an}的首项为a1，公差d=-1，前n项和为Sn，其中a1∈{-1，1，2}（I ）若存在n∈N，使Sn=-5成立，求a1的值；．（II）是否存在a1，使Sn＜an对任意大于1的正整数n均成立？若存在，求出a1的值；否则，说明理由．

Answer 1

（I ）由条件得Sn＝?

1

2

n2+(a1+

1

2

)n＝?5，整理得：n²-（2a₁+1）n-10=0，
∴△=（2a₁+1）²+40是完全平方数，∵a₁∈{-1，1，2}，
∴a₁=1，此时n=5
（II）由S_n＜a_n，代入得?

1

2

n2+(a1+

1

2

)n＜a1+1?n，∴(n?1)a1＜

1

2

(n?1)(n?2)，∵n＞1，∴a1＜

1

2

(n?2)，∴a₁＜0
故存在a₁=-1，使S_n＜a_n对任意大于1的正整数n均成立．