Question

神舟七号载人飞船在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度h，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g

神舟七号载人飞船在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度h，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．求：（1）飞船在该圆轨道上运行时，速度v的大小和周期T．（2）地球的第一宇宙速度v1．（3）该飞船在到达圆轨道之前以a加速上升的过程中，某时刻宇航员发现一质量为m的物体对其下方支持物的压力为F，求此时飞船离地球表面的高度H．

Answer 1

（1）用M表示地球的质量，m表示飞船的质量，根据万有引力提供向心力有：G

Mm

(R+h)2

＝m

v2

R+h

在地球表面的物体受到的重力等于万有引力为：m0g＝G

Mm0

R2

解得飞船在圆轨道上运行时速度为：v＝

GM R+h

＝

gR2 R+h

飞船运行的周期为：T=

2π(R+h)

v

解得：T=

2π(R+h)

R

R+h g

（2）第一宇宙速度满足：m

v12

R

＝mg
因此第一宇宙速度为：v1＝

gR

（3）不考虑地球自转，重力等于万有引力
在高度为H处有：mg′＝G

Mm

(R+H)2

在地球表面有：mg＝G

Mm

R2

对飞船中质量为m物体，根据合力提供向心力有：F-mg′=ma
解以上三式得：H=

mgR2 F?ma

?R
答：（1）飞船在该圆轨道上运行时，速度v的大小为

gR2 R+h

，周期T为

2π(R+h)

R

R+h g

．
（2）地球的第一宇宙速度v₁为

gR

．
（3）此时飞船离地球表面的高度H为

mgR2 F?ma

?R．