Question

问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角

问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．问题探究：（1）在旋转过程中，①如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．②如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为______（直接写出结论，不必证明）（2）当AD=BD时，若AB=20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）①DP=DQ，
理由：如图2，连接CD，
∵AD=BD，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠A=∠DCQ，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，

∠A＝∠QCD AD＝CD ∠ADP＝∠CDQ

，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ；
②DP=2DQ，
理由：如图3，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为：M，N，
则∠DMP=∠DNQ=90°，
∴∠MDP=∠NDQ，
∴△DPM∽△DQN，
∴

MD

DN

=

DP

DQ

，
∵∠AMD=∠DNB=90°，∠A=∠B，
∴△AMD∽△BND，
∴

AD

BD

=

DM

DN

，
∴

DP

DQ

=

AD

BD

=

2BD

BD

=

2

1

，
∴DP=2DQ；

③如图1，过D点作DM⊥CB于点M，作DN⊥AC于点N，
∵∠C=∠PDQ=90°，
∴∠ADP+∠QDB=90°，
可得：∠MDN=90°，
∴∠QDM=∠NDP，
又∵∠DNP=∠DMQ，
∴Rt△DNP∽Rt△DMQ，
∴

ND

BC

=

DP

DQ

=

AD

AB

，
∵AD=nBD，
∴

DP

DQ

=

AN

CN

=

AD

BD

=n，
∴EP与EQ满足的数量关系式为：DP=nDQ；
故答案为：DP=nDQ；

（2）存在，设DQ=x，由（1）①知，DP=x，
∴S=

1

2

x?x=

1

2

x²，
∵AB=20，∴AC=BC=10

2

，AD=BD=10，
当DP⊥AC时，x最小，最小值是5

2

，此时，S有最小值，
S_最小=

1

2

×（5

2

）²=25，
当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，
此时，S有最大值，S_最大=

1

2

×10²=50．