Question

为什么齐次线性方程组有非零解能判定线性相关

Answer 1

假设Ax=0的一组非零解为x1，x2，x3，……，xn

A可改写成分块矩阵

A=(α1，α2，α3，……，αn)

Ax=0即为

x1·α1+x2·α2+x3·α3+……+xn·αn=0

因为x1，x2，x3，……xn不全为0

所以α1，α2，α3，……，αn线性相关，

即A的n个列向量线性相关。

扩展资料

矩阵A是(n-1)×n阶矩阵，此时m=n-1.已知中说n维列向量α1，α2，...，αn-1线性无关。

那么α1T，α2T，...，αn-1T就是n维行向量，【注意：是n-1个n维行向量，n-1个】

那么A的n-1个行向量线性无关。

由于A的秩=A的列秩=A的行秩。

所以A的列秩也是n-1，但不巧的是α1，α2，...，αn-1可是n维的

所以r(A)=n-1＜n，也就是说A的列秩＜A的列数

Answer 2

假设Ax=0的一组非零解为x1，x2，x3，……，xn

A可改写成分块矩阵

A=(α1，α2，α3，……，αn)

Ax=0即为

x1·α1+x2·α2+x3·α3+……+xn·αn=0

因为x1，x2，x3，……xn不全为0

所以α1，α2，α3，……，αn线性相关。

即A的n个列向量线性相关。

扩展资料：

常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

参考资料来源：百度百科--齐次线性方程组

Answer 3

A的n个列向量线性相关吧？
【解释】
假设Ax=0的一组非零解为x1，x2，x3，……，xn
A可改写成分块矩阵
A=(α1，α2，α3，……，αn)
Ax=0即为
x1·α1+x2·α2+x3·α3+……+xn·αn=0
因为x1，x2，x3，……xn不全为0
所以α1，α2，α3，……，αn线性相关，
即A的n个列向量线性相关。

追问

老师好，这意思是不是X反而成为了系数

追答

看你需要讨论什么，
本题，讨论的是A的n个列向量
α1，α2，α3，……，αn的线性相关性，
所以，把已知的非零解的条件当做系数解释就有依据了

追问

好的，谢谢老师