Question

证明：对任意自然数n，代数式（n+1）（n+2)(n+3)(n+4)+1是一个完全平方数

Answer 1

证明：因为（n+1）（n+4）=n平方+5n+4=（n平方+5n+5）-1；

（n+2）（n+3）=n平方5n＋6=（n平方+5n+5）+1，
所以（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=（n平方+5n+5-1)(n平方＋5 n＋5＋1）＋1
=（n平方＋5n＋5）平方-1＋1
=（n平方＋5n＋5）平方。
当n是自然数时，上式是一个完全平方数。

Answer 2

证明：原式=（n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1
=（n+1))(n+4)(n+2)(n+3)+1
=(n^2+5n+4)(n^2+5n+6)+1
设n^2+5n=t,t式自然数
∴原式=(t+4)(t+6)+1
=t^2+10t+24+1
=t^2+10t+25
=(t+5)^2
=(n^2+5n+5)^2
∴代数式（n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1是一个完全平方数

Answer 3

证明：原式=（n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1
=（n+1))(n+4)(n+2)(n+3)+1
=(n^2+5n+4)(n^2+5n+6)+1
设n^2+5n=t,t式自然数
∴原式=(t+4)(t+6)+1
=t^2+10t+24+1
=t^2+10t+25
=(t+5)^2
=(n^2+5n+5)^2
∴代数式（n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1是一个完全平方数

Answer 4

证明：原式=（n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1
=（n+1))(n+4)(n+2)(n+3)+1
=(n^2+5n+4)(n^2+5n+6)+1
设n^2+5n=t,t式自然数
∴原式=(t+4)(t+6)+1
=t^2+10t+24+1
=t^2+10t+25
=(t+5)^2
=(n^2+5n+5)^2
∴代数式（n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1是一个完全平方数