Question

因式分解：4(a²+ab+b²)³-(a-b)²(a+2b)²(2a+b)²

求详细过程。谢谢！

Answer 1

4(a^2+ab+b^2)^3-(a-b)^2(a+2b)^2(2a+b)^2
=4(a^2+ab+b^2)^3-(a^2+b^2-2ab)(2a^2+2b^2+5ab)^2
设a^2+b^2+ab=m,ab=n
上式=4m^3-(m-3n)(2m+3n)^2
=4m^3-(m-3n)(4m^2+9n^2+12mn)
=4m^3-[4m^3+9mn^2+12(m^2)n-12(m^2)n-27n^3-36mn^2]
=4m^3-[4m^3-27mn^2-27n^3]
=27(n^2)(m+n)
m，n代入：
=27[(ab)^2](a^2+b^2+2ab)
=27[ab(a+b)]^2
把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。
原则：
1、分解必须要彻底（即分解之后因式均不能再做分解）
2、结果最后只留下小括号
3、结果的多项式首项为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即
透过公式重组，然后再抽出公因子。
4.括号内的第一个数前面不能为负号；
5.如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。即a（a+b）的形式。

Answer 2

4(a^2+ab+b^2)^3-(a-b)^2(a+2b)^2(2a+b)^2
=4(a^2+ab+b^2)^3-(a^2+b^2-2ab)(2a^2+2b^2+5ab)^2
设a^2+b^2+ab=m,ab=n
上式=4m^3-(m-3n)(2m+3n)^2
=4m^3-(m-3n)(4m^2+9n^2+12mn)
=4m^3-[4m^3+9mn^2+12(m^2)n-12(m^2)n-27n^3-36mn^2]
=4m^3-[4m^3-27mn^2-27n^3]
=27(n^2)(m+n)
m，n代入：
=27[(ab)^2](a^2+b^2+2ab)
=27[ab(a+b)]^2