Question

已知函数f（x）=alnx/x+1 + b/x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x

已知函数f（x）=alnx/x+1 + b/x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．（第二问用分离参数的方法做）

Answer 1

由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）
（Ⅰ）f′(x)= a( x+1 x -lnx) (x+1)2 - b x2
由于直线x+2y-3=0的斜率为- 1 2 ，且过点（1，1），故
f(1)=1 f′(1)=- 1 2
即
b=1 a 2 -b=- 1 2 解得a=1，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)= lnx x+1 + 1 x ，所以
f(x)-( lnx x-1 + k x )= 1 1-x2 (2lnx+ (k-1)(x2-1) x ）．
考虑函数h(x)=2lnx+ (k-1)(x2-1) x （x＞0），则
h′(x)= (k-1)(x2+1)+2x x2 ．
（i）设k≤0，由h′(x)= k(x2+1)- (x-1)2 x2 知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得 1 1-x2 h(x)＞0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得 1 1-x2 h（x）＞0
从而当x＞0，且x≠1时，f（x）-（ lnx x-1 + k x ）＞0，即f（x）＞ lnx x-1 + k x ．
（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1， 1 1-k ）时，（k-1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而
h（1）=0，故当x∈（1， 1 1-k ）时，h（x）＞0，可得 1 1-x2 h（x）＜0，与题设矛盾．
（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得 1 1-x2 h（x）＜0，与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为（-∞，0]