Question

关于泰勒公式逐项求导或求积分一个问题

对这个做法的解释中
对f（x）求导可得f(x)`的n-1阶泰勒公式
对f(x)积分可得积分在x=x0的n+1阶泰勒公式
前一个能理解，但积分时出来的结果没有常数项，就是不含x的项，这不就不是的泰勒公式形式么。。。
就是比方我对A0+A1x+A2x^2+A3x^3+....Anx^n积分
势必A0会配上x，然后前面就没有了

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Answer 1

一般讨论的是泰勒级数求导和积分问题，而不讨论泰勒公式的类似问题，你再仔细看看？

追问

比如这个形式，对其积分后得其积分的n+1阶泰勒公式，也就是将x-x0的指数全部加一，第一个f(x0)乘上（x-x0）

那么他就没有不含（x-x0）的项了，即泰勒展开式标准形式的第一项，而我觉得第一项正是所有项里最重要的。。

不知道说清楚没，，我的一个困惑，请帮帮忙

追答

清楚你的意思。一般不讨论泰勒公式的求导和积分问题的（常见的是讨论泰勒级数求导和积分问题），如果真要对泰勒公式积分，可以用 [x0,x] 上的变上限积分，这样就有常数项了。问题是余项 Rn(x) 的积分怎么做？

追问

对对，是指带皮亚诺余项的求导和积分问题，不是带拉格朗日余项的，书上就是对带皮亚诺余项的（x0,x)进行变上限积分，没有常数项。或者我认为积分可以加上一个常数C，但是C不是可以随意变动的吗，

麻烦您帮我解决这个问题，碰到这个槛过不去了。。

还有唯一的例题：求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式，书上给的答案：

且不说第一项的问题，我觉得o（x^5)应是o（x^4)，o(x^6)应是o(x^5)

追答

1）arcsinx' = 1/(1+x²) 是错的。
2）积分后阶数会升高的。

追问

arcsinx写错了是arctanx
会升高，但是之前先求导了先行降了一阶，导数的4阶积分才是原函数的5阶呀。。

追答

1）(arctanx)' 的展开式中的 Peano 余项是 o(x^5)，积分后，即 arctanx 的展开式中的 Peano 余项是 o(x^6)，没错吧？
2）前面关于 “常数” 没有回答：积分后的首项为 (x-0)，已经包含了常数项了。

追问

1）你说的没错我也理解，但是题目是求5阶，o（x^6)不是6阶吗，n阶的泰勒公式是f（x）=f（x0）+f（x）'（x-x0）…………o(（x-x0）^n) ,o内的指数和阶数是相等的。。。
2）我已经分析出来了，确实不含常数项或者这个常数项f(x0)=0

最后一问，，谢谢你的耐心。。

追答

这里的阶数指的是多项式（有效项）的阶数，不是余项的阶数。