Question

为什么∫∫f(x,y)dxdy=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 可以这样化？

求大神极坐标下二重积分怎么化成二次积分，∫∫f(x,y)dxdy=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr ，为什么可以这样化？他们说∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr没有几何意义，那么为什么会这样化？在直角坐标系下还有意义与推导方式。极坐标就不清楚了，求大神说详细一点为什么∫∫f(x,y)dxdy=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 可以这样化？

Answer 1

化为二次积分。

∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2) (x+y)dy＝∫(0～1) (x＋3/2)dx ＝1/2＋3/2＝2

r = 2sinθ2113

r² = 2rsinθ

x² + y² = 2y

x² + y² - 2y + 1 = 1

x² + (y - 1)² = 1

由于θ∈[0，5261π4102/2]，

区域1653D为x² + (y - 1)² = 1和x ≥ 0，y ≥ 0的部分

或者更简专单属地，x = √[1 - (y - 1)²]

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

扩展资料：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

参考资料来源：百度百科-二重积分