Question

fx=lnx-ax+b/x 满足fx+f(1/x)=0， 若fx的图像在x=1处切线过点(0，-

fx=lnx-ax+b/x 满足fx+f(1/x)=0，
若fx的图像在x=1处切线过点(0，-5)，求a的值
已知0小于a小于1，求证f(a²/2)大于0

Answer 1

(1)f(x)=lnx-ax+b/x 满足fx+f(1/x)=lnx-ax+b/x-lnx-a/x+b=(b-a)(x+1/x)=0,
∴b=a.f(x)=lnx-ax+a/x,
f'(x)=1/x-a-a/x^2,f(1)=0,f'(1)=1-2a,
∴y=f(x)的图像在x=1处的切线：y=(1-2a)(x-1),它过点(0,-5),
∴-5=-1+2a,a=-2.
(2)0<a<1时f(a^2/2)=ln(a^2/2)-a^3/2+2/a=2lna-ln2-a^3/2+2/a,记为g(a),
g'(a)=2/a-3a^2/2-2/a^2=(-3a^4+4a-4)/(2a^2),
设h(a)=-3a^4+4a-4,则h'(a)=-12a^3+4=-12(a^3-1/3),
0<a<1/3^(1/3)时h'(a)>0,h(a)是增函数，其他，h(a)是减函数，
∴h(a)<=h[1/3^(1/3)]=3^(2/3)-4<0,
∴g'(a)<0,g(a)是减函数，
∴f(a^2/2)=g(a)>g(1)=3/2-ln2>0.