Question

计算三重积分∫∫∫Ω（x^2+y^2）dv,其中Ω是由曲面x^2+y^2=2z和z=2所围成的闭区域

我用的方法是直角坐标转化法,将∫∫∫Ω（x^2+y^2）dv转化为∫∫∫Ω 2z dv,然后∫∫∫Ω 2z dv=∫<0，2>2zdz∫∫Dzdxdy,而∫∫Dzdxdy=2πz,那么∫<0，2>2zdz∫∫Dzdxdy就等于4π∫<0，2>z^2dz就等于32π/3,但是答案是16π/3，这是为什么呢？

Answer 1

结果为：16π/3

解题过程如下：

解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫<r^2/2,2>r^2dz (作柱面坐标变换)

=2π∫<0,2>r^3(2-r^2/2)dr

=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr

=2π(2^4/2-2^6/12)

=2π(8/3)

=16π/3

扩展资料

求函数积分的方法：

设F（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分。

若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。

Answer 2

你做错了，不能那么转换。
解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫<r^2/2,2>r^2dz (作柱面坐标变换)
=2π∫<0,2>r^3(2-r^2/2)dr
=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr
=2π(2^4/2-2^6/12)
=2π(8/3)
=16π/3。

追问

那如果用直角坐标转换应该怎么做？

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示