Question

一道高数题，求二阶变系数齐次微分方程的解

求二阶变系数齐次微分方程的解，方程如下图所示：
像这类题的基本解法是什么啊

Answer 1

解：∵令dy/dx=p，则d^2y/dx^2=p'
∴代入原方程，得 (1+x)p'+xp-y=0
==>y=(1+x)p'+xp..........(1)
==>p=y'=(1+x)p''+p'+xp'+p ((1)式两端对x求导数)
==>(1+x)p''+p'+xp'=0
==>(1+x)(p''+p')=0
==>p''+p'=0..........(2)
∵齐次方程(2)的特征方程是r^2+r=0，则r1=0，r2=-1
∴齐次方程(2)的通解是 p=C1-C2e^(-x) (C1,C2是任意常数)
==>p'=C2e^(-x)
于是，把p和p'代入(1)式，得
y=(1+x)(C2e^(-x))+x(C1-C2e^(-x))=C1x+C2e^(-x)
故原方程的通解是y=C1x+C2e^(-x)。