Question

线性代数证明题。。求大神帮忙做一下，谢谢了！！

Answer 1

【分析】
此题涉及矩阵秩的不等式
1、AB=0，则r(A)+r(B)≤n
2、r(A+B)≤r(A)+r(B)
矩阵秩的等式证明r(A)=k
一般是先证明r(A)≥k
再证明r(A)≤k
最后得到r(A)=k

【解答】
A²=E，A²-E=0，那么(A-E)(A+E)=0
所以r(A-E)+r(A+E)≤n
又因为r(A-E)+r(A+E)=r(E-A)+r(E+A)≥r(E-A+E+A)=r(2E)=r(E)=n
综上所述，
r(A-E)+r(A+E)=n

newmanhero 2015年8月1日19:43:09

希望对你有所帮助，望采纳。

追问

请帮忙写出具体过程吧，万分感谢！！实在不会做。。哎。

Answer 2

A^2=E，所以A^(-1)=A
则存在可逆的P和Q，使得PAQ=F，其中的元素，除了对角线均为0，且对角线元素为1或者-1。
(A-E)(A+E)=O
P(A-E)QQ^(-1)(A+E)P^(-1)=(F-E)(F+E)=O
R(A-E)=R(F-E)，R(A+E)=R(F+E)---------相似变换矩阵的秩保持不变。
R(F-E)+R(F+E)=n
所以，结论正确

Answer 3

由A2=E 得(A-E)(A+E)=0
设(A+E)=(a1,a2...,an)，则
(A-E)(A+E)=(A-E)(a1,a2...,an)=「(A-E)a1,(A-E)a2,...(A-E)an」=0 也就是说矩阵(A+E)的列向量是(A-E)的齐次解。根据一个矩阵齐次解的基础解系为n-r=n-r(A+E)可知 r(A-E)≤n-r(A+E),移项可得r(A-E)+r(A+E)≤n

Answer 4

7

追问

证明题。。