Question

定积分和面积有啥关系？

我的理解是：积分，是微分或导数的逆运算，是求原函数的一种手段。
曲边梯形的面积，是分割求和取极限。
这两个完全没有关系吗，为啥定积分就是面积？
粘来的不要，谢谢啦！

Answer 1

圆周长与半径微小变化的乘积是，恰好是微圆环的面积，即2πrdr是微小面积，在整个半径上积分就是面积。
对于正方形，应该是两个方向上的变化才行，也就是双重定积分。
如果用周长积分，你会发现，这里面有相重合的地方，所以实际上，最终的积分是正方形面积的2倍。你可以想象，一个边长把一部分面积计算了，而你在计算与他相邻的边长时，在线段末端会有重复计算的面积，四个角都有这样的现象，如果用双重积分就不会存在重复计算面积的现象。在圆上，由于只有一个方向的变化，不可能存在重复计入的问题。
最终，对于圆和正方形的面积的积分计算，所使用的坐标系是不同。

Answer 2

不定积分求原函数的一种手段,求的是函数。
定积分所求的是原函数在区间a，b间的面积，求的是一个数，而不是函数。

Answer 3

分割求和取极限=定积分！！！
而你说的求原函数，是不定积分！！！