Question

一道大二常微分题目，就第二题，要有过程，在线等，谢谢

Answer 1

(2xy+x^2y+y^3/3)e^xdx+(x^2+y^2)e^xdy=0
令P(x)=(2xy+x^2y+y^3/3)e^x，Q(x)=(x^2+y^2)e^x
dP/dy=(2x+x^2+y^2)e^x
dQ/dx=2xe^x+(x^2+y^2)e^x
因为dP/dy=dQ/dx，所以上述方程是全微分方程
d[(x^2y+y^3/3)e^x]=0
(x^2y+y^3/3)e^x=C
其中C是任意常数

Answer 2

1.除dx
x²十y²十2x十2yy'=0
注意（y²）'=2yy'，代入:
x²十y²十2x十（y²）'=0
设z=y²
x²十2x十z十z'=0
注意（x²）'=2x
令z=-x²，z'=-2x
代入，成立。因此，z=-x²是一特解。
对应齐次方程:
z十z'=0
z'=-z
dz/z=-dx
积分
lnz=-x十C
z=e^（-x十C）=De^（-x）
任意解可表示为齐次方程通解与特解之和:
y²=z=De^（-x）-x²

追答

2.除以dx
2xy十x²y十y³/3十（x²十y²）y'
注意:（x²y十y³/3）'=2xy十x²y'十y²y'
=2xy十（x²十y²）y'
设z=x²y十y³/3
z十z'=0
同上题，得
z=De^（-x）

Answer 3

2y+2xy+0 + 0 +2y=4y+2xy