用反证法证明极限的唯一性时，为什么取ε=(b-a)/2
具体原因如下：
证明如下：
假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，根据极限的柯西定义，有如下结论：
任意给定ε>0（要注意，这个ε是对a，b都成立）。
总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①和b-ε<f（x）<b+ε②。
令δ=min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。
因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。
即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。
倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明，证法完全一样。
证毕。
扩展资料：
实际的操作过程还用到了另一个原理，即：
原命题和原命题的否定是对立的存在：原命题为真，则原命题的否定为假；原命题为假，则原命题的否定为真。
若原命题：
为真
先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定：p且¬q。
从结论的反面出发，推出矛盾，即命题：p且¬q 为假（即存在矛盾）。
从而该命题的否定为真。
再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题：p⇒q为真。
误区：
否命题与命题的否定是两个不同的概念。
命题的否定只针对原命题的结论进行否定。而否命题同时否定条件和结论：
原命题：p⇒q；
否命题：¬p⇒¬q；
逆否命题：¬q⇒¬p；
命题的否定：p且¬q。
原命题与否命题的真假性没有必然联系，但原命题和原命题的否定却是对立的存在，一个为真另一个必然为假。
已知某命题：若A，则B，则此命题有4种情况：
1.当A为真，B为真，则A⇒B为真，得¬B⇒¬A为真；
2.当A为真，B为假，则A⇒B为假，得¬B⇒¬A为假；
3.当A为假，B为真，则A⇒B为真，得¬B⇒¬A为真；
4.当A为假，B为假，则A⇒B为真，得¬B⇒¬A为真；
∴一个命题与其逆否命题同真假。
即反证法是正确的。
假设¬B，推出¬A，就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的。
但实际推证的过程中，推出¬A是相当困难的，所以就转化为了推出与¬A相同效果的内容即可。这个相同效果就是与A（已知条件）矛盾，或是与已知定义、定理、大家都知道的事实等矛盾。
证明如下：
假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，根据极限的柯西定义，有如下结论：
任意给定ε>0（要注意，这个ε是对a，b都成立）。
总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①和b-ε<f（x）<b+ε②。
令δ=min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。
因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。
即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。
倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明，证法完全一样。
证毕。
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