Question

高中数学，求解，谢谢

Answer 1

、（1）设：AE=x，AF=y
SΔabc=（1/2)AB·AC·sin60°=12√3
SΔaef=(1/2)SΔabc=6√3=(1/2)xysin60°
∴xy=24
(x+y)²=x²+y²+2xy≥4xy=96
当x=y时，x+y的最小值=4√6
即x=y=2√6
∵∠BAC=60°
∴EF=x=y=2√6 （AEF为等边三角形）
设：EF=z
x+y+z=2p （2p为任意三角形的周长，且p为定值）
由海伦公式可知：
S²=p（p-x）（p-y）(p-z）≤p[（p-x)+(p-y)+(p-z)]³/27
当且仅当p-x=p-y=p-z时，即x=y=z取得取等号， 即三角形周长一定时，等边三角形的面积最大；反过来说就是三角形面积一定时，等边三角形的周长最小。

∴lmin=6√6

（2）
z²=x²+y²-xy=(x+y)²-3xy=(x+y)²-72
x+y+z=x+y+√[(x+y)²-72]
令x+y=t
则 f（t） =t+√（t²-72）
f‘（t）=1+t/√(t²-72)
令f‘（t）=0
t²+t-72=0
t=-9 或t=8
f（t）在（0，8）是减函数在（8，+∞）是增函数
x+y的最小值4√6＞8，于是问题就转化为xy=24，x∈（0，8]y∈（0，6]x+y的最大值
则x+y=x+24/x=f(x）
=y+24/y=f(y)
f‘（x）=1-24/x²=0

x=±2√6
f（x）在（0，2√6）是减函数；在[2√6，+8]是增函数
同理
f（y）在（0，2√6）是减函数；在[2√6，+6]是增函数
y=6，x=4
x=8，y=3；z=7
lmax=18
则E点与点B重合，F点在AC上AF=3的位置

水平有限在讨论x+y的最大值时，有点勉强，说明的不清楚，本想继续讨论x=24/y,
即f（y）=y+24/y来说明f（x）在（0，2√6）是减函数，x的最小值是4；即f（8）＞f（4）。可是不知该怎样表达才能清楚明了