8题 微分方程求通解…… 明天考试！！ 急…… 谢谢！！
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求微分方程dy/dx+y/x=sinx的通解。
解：先求齐次方程dy/dx+y/x=0的通解：
分离变量得dy/y=-x/dx
积分之得lny=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x)
故得y=c₁/x；将c₁改成x的函数u，得y=u/x..........(1)
将(1)对x取导数得dy/dx=(xu'-u)/x².......(2);
将(1)(2)代入原式得：
(xu'-u)/x²+u/x²=sinx
化简得u'/x=sinx；即有u'=xsinx;
du=xsinxdx
积分之得u=∫xsinxdx=-∫xd(cosx)=-[xcosx-∫cosxdx]=-xcosx+sinx+c.......(2)
将（2）代入(1)式即得通解为：
y=(-xcosx+sinx+c)/x.
【以上解法，谓之参数变易法】
解：先求齐次方程dy/dx+y/x=0的通解：
分离变量得dy/y=-x/dx
积分之得lny=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x)
故得y=c₁/x；将c₁改成x的函数u，得y=u/x..........(1)
将(1)对x取导数得dy/dx=(xu'-u)/x².......(2);
将(1)(2)代入原式得：
(xu'-u)/x²+u/x²=sinx
化简得u'/x=sinx；即有u'=xsinx;
du=xsinxdx
积分之得u=∫xsinxdx=-∫xd(cosx)=-[xcosx-∫cosxdx]=-xcosx+sinx+c.......(2)
将（2）代入(1)式即得通解为：
y=(-xcosx+sinx+c)/x.
【以上解法，谓之参数变易法】
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