Question

在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=3cm.AC=4cm,以斜边BC上距点B3cm的P点为中心

在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=3cm.AC=4cm,以斜边BC上距点B3cm的P点为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到图中的△DEF位置,求旋转前后的两个直角三角形重叠部分的面积是多少？ 在线等，谢谢了~~~ 图：

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Answer 1

方法一

解：Rt△ABC中，AB=BP=3cm，AC=4cm

则BC=5cm，PC=2cm

∵∠CPM=∠A=90°，∠C=∠C

∴Rt△PMC∽Rt△ABC

∴PM/AB=PC/AC=MC/BC

即PM=1.5cm，MC=2.5cm

∴S△PMC=(1/2)PM•PC=1.5cm²

∵∠F=∠C，PF=PC，∠FPQ=∠CPM=90°

∴Rt△PQF≌Rt△PMC

∴PQ=PM=1.5cm

则QC=PC-PQ=0.5cm

∵∠CNQ=∠A=90°，∠C=∠C

∴Rt△NQC∽Rt△ABC

∴NQ/AB=NC/AC=QC/BC

即NQ=0.3cm，NC=0.4cm

∴S△NQC=(1/2)NQ•NC=0.06cm²

∴S四边形PMNQ=S△PMC-S△NQC=1.44cm²

故两个直角三角形重叠部分的面积是1.44cm²

方法二

解：Rt△ABC中，AB=BP=3cm，AC=4cm

则BC=5cm，PC=2cm，S△ABC=6cm²

易证Rt△PMC∽Rt△ABC

∴S△PMC/S△ABC=(PC/AC)²　（相似三角形的面积比等于相似比的平方）

即S△PMC=1.5cm²

易证Rt△PQF≌Rt△PMC

∴PQ=PM=1.5cm

则QC=PC-PQ=0.5cm

易证Rt△NQC∽Rt△ABC

∴S△NQC/S△ABC=(QC/BC)²　（相似三角形的面积比等于相似比的平方）

即S△NQC=0.06cm²

∴S四边形PMNQ=S△PMC-S△NQC=1.44cm²

故两个直角三角形重叠部分的面积是1.44cm²

Answer 2

由题意知:PF=PC=BC-BP=5-3=2; 已知AB=3,AC=4,由勾股定理得BC=5.
显然:△PSC∽△RSF∽△PQF∽△ABC,该些直角三角形三边之比均为3:4:5.
则得:QP=3/4FP=3/4×2=1.5;
SP=3/4PC=3/4×2=1.5;
FS=FP-SP=2-1.5=0.5;
FR=4/5FS=4/5×0.5=0.4;
RS=3/5FS=3/5×0.5=0.3.
S(◇PQRS)=S(△PQF)-S(△RSF)=1/2FP*QP-1/2FR*RS=1/2×2×1.5-1/2×0.4×0.3=1.44(cm²).

Answer 3

如图（O点没有标出） OB=3 CO=CB-OB=5-3=2 △COG∽△ABC 所以CG=CO:AC*CB=2:4*5=2.5 OG=CO:AC*AB=2:4*3=1.5 S△COG=1/2*2*1.5=1.5 FD//AB(因为是CA旋转90度而得) S△FGH∽△ABC OF=OC=2 所以FG=OF-OG=2-1.5=0.5 所以 GH=FG:CB*AB=0.5:5*3=0.3 所以 CH=CG+GH=2.5+0.3=2.8 FD交CB与P（未标出） S△CHP=1/2*2.8*2.8/4*3=2.94 所以重叠的面积为S△CHP - S△COG =2.94-1.5=1.44