Question

一道关于函数间断点的证明题，第七小题。

Answer 1

（1）对任意e>0，存在正数D=e，对所有x∈{x||x-0|<D}，有
|f(x)-f(0)|=|f(x)-0|
=|f(x)|
<=|x|
<D
=e
所以f(x)在x=0连续
（2）对任意x0≠0，若x0∈Q，则存在正数e=|x0|/2，对任意正数D，存在无理数x∈(x0-D,x0+D)，使得
|f(x)-f(x0)|=|0-x0|
=|x0|
>|x0|/2
=e
若x0∈R\Q，则对任意正数D，存在正数e=||x0|-D|，存在有理数x∈(x0-D,x0+D)，使得
|f(x)-f(x0)|=|x-0|
=|x|
>||x0|-D|
=e
所以f(x)在任意x≠0处都不连续