Question

如图，P、Q是抛物线y=-x∧2+4x＋c上的两点(P在q的右侧)，且PQ‖x轴，过点P作直线l⊥

如图，P、Q是抛物线y=-x∧2+4x＋c上的两点(P在q的右侧)，且PQ‖x轴，过点P作直线l⊥x轴，E是直线上一动点，作直线QE与抛物线交于点M，过点M作MN‖x轴交直线l于点N，当PE=PQ，且以Q、N、M、P为顶点的四边形被对称轴分成面积比为1:5的两部分时，点P的横坐标为

Answer 1

答案为x=2、45°。

解：（1）∵y=x2-4x=（x-2）2-4。

∴抛物线的对称轴是x=2。

∵直线y=x+m。

∴直线与坐标轴的交点坐标为（-m，0），（0，m）。

∴交点到原点的距离相等。

∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形。

∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°。

故答案为x=2、45°。

题目分析：

（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数。

（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE△ABF对应边成比例即可求得。

Answer 2

y=-x^2+4x+c=-(x-2)^2+4+c,
设P(2+p,4+c-p^2),则Q(2-p,4+c-p^2),
由PE⊥PQ,PE=PQ得E(2+P,4+c-2p-p^2),
设M(2+m,4+c-m^2),m>p>0,则N(2+p,4+c-m^2),
直线QN的斜率=(p^2-m^2)/(2p),
QN的方程是y-(4+c-m^2)=(p^2-m^2)(x-2-p)/(2p),
抛物线的对称轴x=2与QN交于F(2，4+c-(m^2+p^2)/2),与PQ交于G(2，4+c-p^2),
S△QFG=(p/2)(yG-yF)=p(m^2-p^2)/4.
S(PQNM)=(1/2)(PQ+MN)*PN=(1/2)(2p+m-p)(m^2-p^2),
以Q、N、M、P为顶点的四边形被对称轴分成面积比为1:5的两部分,
∴S△QFG：S(PQNM)=1/6，
∴m=2p.待续

Answer 3

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