Question

☆求助☆ 高一数学三角函数题

设α.β.γ满足0<α<β<γ<2π,若对任意x∈R,cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=o恒成立，则γ-β的值是
A.2/3 π
B.4/3 π
C.2/3 π 或4/3 π
D.无法确定

请写出步骤，一个答案的不要！

Answer 1

答案是C.
此题的关键在一个“恒”字。
0<α<β<γ<2π，可以设x+α=A,x+β=A+x1，x+γ=A+x2，其中0<x1<x2<2π。
cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=cosA+cos（A+x1）+cos（A+x2）=0
把它分解后得：cosA+cosAcosx1-sinAsinx1+cosAcosx2-sinAsinx2=0
移项并合并同类项得：cosA（1+cosx1+cosx2）=sinA（sinx1+sinx2）
∵对于任意x∈R，等式恒成立；即对于任意A∈R，等式恒成立
∴1+cosx1+cosx2=0，且
sinx1+sinx2=0.
∵（cosx1+cosx2）^2=1,(sinx1+sinx2)^2=0
∴(cosx1+cosx2）^2+(sinx1+sinx2)^2=2+2cosx1cosx2+2sinx1sinx2=
2+2cos(x1-x2)=1
解得cos（x1-x2）=-1/2=cos（x2-x1）
∵0<x1<x2<2π
∴Y-β=x2-x1=2/3 π 或4/3 π
当然，考试的时候可以用观察法和代入特殊值等方法去估算，这是解题技巧方面的事。

Answer 2

解：设f(x)=cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)，由x∈R，f(x)=0知，

f(-α)=0，f(-γ)=0，f(-β)=0，即cos(β-α)+cos(γ-α)=-1，

cos(α-β)+cos(γ-β)=-1，cos(α-γ)+cos(β-γ)=-1，

∴cos(β-α)=cos(γ-β)=cos(γ-α)=-.

∵0＜α＜β＜γ＜2π，∴β-α，γ-α，γ-β∈[].

又β-α＜γ-α，γ-β＜γ-α，只有β-α=γ-β=.∴γ-α=.

另一方面，当β-α=γ-β=，有β=α+，γ=α+.

x∈R，记x+α=0，由于三点(cosθ,sinθ)，(cos(θ+),sin(θ+))，(cos(θ+),sin(θ+))构成单位圆x2+y2=1上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有cosθ+cos(θ+)+cos(θ+)=0.即cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0.

Answer 3

C
过程
这是一道选择题，不必花大量时间去做，由题，恒成立则对于特殊情况也成立，所以可带入特殊点计算