Question

利用函数的单调性证明下列不等式

Answer 1

解构造函数
f(x)=sinx-2x/π，x属于(0,π/2)
求导得f'(x)=cosx-2/π
令f'(x)=0
解得x=arccos2/π
故当x属于(0,2/π)时，f'(x)＞0故函数f(x)是增函数
当x属于(2/π,π/2)时，f'(x)＜0函数f(x)是减函数
又由f(0)=0,f(π/2)=0
故当x属于(0.π/2)时，f(x)＞0
故sinx＞2x/π对x属于(0.π/2)成立

Answer 2

令f(x)=sin x-2x/pi 0<=x<=pi/2, 有f(0)=0,f(pi/2)=0
f'(x)=cos x-2/pi ,f'(x)>0 -> 0<x<arccos 2/pi
若0<x<=arccos 2/pi ,f(x)单调增，f(x)>f(0)=0
若arccos 2/pi<x<pi/2 ,f(x)单调减，f(x)>f(pi/2)=0
所以0<x<pi/2时，f(x)>0,即 sin x>2x/pi