四点共圆的证明方法
1、对角互补的四边形，四点共圆。
2、外角等于内对角的四边形，四点共圆。
3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆。
4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
几何描述：四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，则ABCD四点共圆。
证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。若不在圆上，可设射线BD与圆的交点为D'，那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC，与外角定理矛盾。 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
证法见上 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）
上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理，即ABCD四个点，分别连接AB和CD,它们（或它们的延长线）交点为P，若PA*PB=PC*PD，则ABCD四点共圆。
证明：连接AC,BD，∵PA*PB=PC*PD
∴PA/PC=PD/PB
∵∠APC=∠BPD
∴△APC∽△DPB
当P在AB,CD上时，由相似得∠A=∠D，且A和D在BC同侧。根据方法2可知ABCD四点共圆。
当P在AB,CD的延长线上时，由相似得∠PAC=∠D，根据方法3可知ABCD四点共圆。 四边形ABCD中，若有AB*CD+AD*BC=AC*BD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则ABCD四点共圆。该方法可以由托勒密定理逆定理得到。
托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD，总有AB*CD+AD*BC≥AC*BD,等号成立的条件是ABCD四点共圆。
如图，在四边形内作△APB∽△DCB（只需要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即可）
由相似得∠ABP=∠DBC，∠BAP=∠BDC
∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD
即∠ABD=∠PBC
又由相似得AB:BD=PB:CB=AP:CD
∴AB*CD=BD*AP，△ABD∽△PBC
∴AD:BD=PC:BC，即AD*BC=BD*PC
两个等式相加，得AB*CD+AD*BC=BD*(PA+PC)≥BD*AC,等号成立的充要条件是APC三点共线
而APC共线意味着∠BAP=∠BAC，而∠BAP=∠BDC，∴∠BAC=∠BDC
根据方法2，ABCD四点共圆 西姆松定理逆定理：若一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三角形外接圆上。
设有一△ABC，P是平面内与ABC不同的点，过P作三边垂线，垂足分别为L,M,N，若L,M,N共线，则P在△ABC的外接圆上。
如图，PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC，且L,N,M在一条线上。
连接PB,PC，∵∠PLB+∠PNB=90°+90°=180°
∴PLBN四点共圆
∴∠PLN=∠PBN，即∠PLM=∠PBA
同理，∠PLM=∠PCM，即∠PLM=∠PCA=∠PBA
根据方法2，P在△ABC外接圆上
