Question

琴生不等式的应用

Answer 1

有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了，
如今我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式
比如
i).(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≥((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1时）
ii).(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≤((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0<t<1时）
iii).((x1+x2+...+xn)/n)^n≥x1x2*...*xn
其中前面两个取 就可以了
后面一个取 就可以了。
举一个简单的例子：y=sinx在（0，π）中为凸函数，如图所示：
A=f{（x1+x2）/2}
B={f（x1）+f（x2）}/2
同时，值得注意的是，上凸、下凸、凹、凸的含义是不同的。如图：