Question

三重积分上下限确定

关于这两道题有两个疑问，就是怎么确定上限取确定值还是下限取确定值，比如第一个中r为什么不取cosφ到1，第二个中ρ为什么不取0到2/5ρ？请求赐教！

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Answer 1

第一个问题中r表示极径，即从原点出发到区域内任一点的连线，显然当这点在原点时，极径取下限0，这一点在球面上是取上限cosφ。至于你说的cosφ到1，道理何在？

第二个问题中，解答用的是投影法，如图先确定最大投影面（图中的阴影部分），这个圆的r范围自然是0到2了。这次你的疑问“第二个中ρ为什么不取0到2/5z”是有道理的，如果采用截面法列式，就是你说的这个范围了，参考下图：

追问

第一个中r的范围是0到1，当点在球的切平面内时，φ是不是相当于π/2？此时也取到了了极径的下限0，所以疑问能否用cosφ到1表示这个范围呢？请教这种思维方式是错在哪里？自己也感觉很别扭，但是又搞不懂所以然，请赐教！

追答

你那个范围错在毫无依据可言，只是凭空想象而已。如果你能将这个范围在图中标出来，那就能解释得通了。