Question

简单的线性规划的过程设计

Answer 1

引例：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品．每生产一件甲产品使用4个A配件，耗时1h；每生产一件乙产品使用4个B配件，耗时2h．已知该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
问题1：该厂生产什么？怎么生产？
设计意图：引导学生读题，完成实际问题数学化的过程．承前一课时，使学生进一步熟练如何从实际问题中抽象出不等式组（约束条件）并用平面区域表示．
设甲、乙两种产品每日分别生产x，y件，生产甲产品需满足；生产乙产品需满足；生产时间需满足，从而得出二元一次不等式组：
（1）
问题2：可能的日安排，什么意思？
设计意图：让学生了解日生产方案的数学符号表示，不等式组（1）的整数解的实际意义，并顺势给出“可行解”、“可行域”概念．
教学中，可以结合几何画板，让学生“读出”可行解，即可行域中的18个整点：
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）；
（1，0），（1，1），（1，2），（1，3）；
（2，0），（2，1），（2，2），（2，3）；
（3，0），（3，1），（3，2）；
（4，0），（4，1），（4，2）．
对于边界附近的点，如（3，3），（4，3，），（4，4）是否可行域中，需引导学生配合不等式来判断，这将有助于学生手绘解决问题时的慎密思考．
问题3：若每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利3万元，如何安排生产利润最大？
设计意图：通过添加最优化问题转入对新知识的探究，使学生体会知识生成的自然和线性规划模型的价值． 利润函数模型的建立．设生产利润为z（万元），则z=2x+3y．
这是一个二元函数，甲、乙两种产品的数量共同影响生产利润，不是学生熟悉的问题．
教学时，可引导学生分别求各种可能安排的利润（列举）：z=？
x y z=2x+3y
0 0 0
0 1 3
… … …
4 1 11
4 2 14
观察得到，当x=4，y=2时，z最大，z的最大值为14万元．引出最优化问题，顺势给出“最优解”概念．
问题4：如何看待利润函数的解析式z=2x+3y?
设计意图：得出利润函数z=2x+3y后，学生多会与一元函数求最值的问题进行类比，考虑定义域（这里是可行域）的作用，求最值的代数的或几何的方法．在学生活跃的思维中，寻求数形结合思想方法应用的契机．
由利润函数的解析式z=2x+3y，视z为常数，则z=2x+3y就是关于x，y的二元一次方程，在平面直角坐标系中，方程z=2x+3y表示斜率为，在y轴上的截距为的一组平行直线（直线是其中的一个代表）．
由于z=2x+3y中的（x，y），来自于可行域，所以直线z=2x+3y与可行域有公共点．
可追问以下问题：
当直线z=2x+3y经过可行域中的哪个（些）点时，z最大？
当直线经过可行域中的哪个（些）点时，最大？
当直线经过可行域中的哪个（些）点时，与y轴的交点最高？
故求z的最大值，可转化为求的最大值，而是直线z=2x+3y在y轴上的截距，只要看直线系z=2x+3y与y轴的交点的最高即可．
从（一元）函数的观点来看，z是以直线z=2x+3y与y轴的交点的纵坐标为自变量的（一元）函数．
由于y的系数为正，故z是直线的纵截距的增函数，即当直线的纵截距最大（与y轴的交点最高）时，目标函数有最大值．（熟练之后，就不必化直线方程为斜截式了！）
问题5：怎样求解线性规划问题？
设计意图：通过这个具体例子，让学生梳理问题解决的思路，归纳最优化问题的求解思路：
第1步：依题意，列出不等式组
第2步：画出可行域（实际上也就找到了可行解）．
第3步：依题意，求出目标函数
第4步：作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），平移此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值．
第5步：求（写）出最优解和相应的最大（小）值．
由解得点M的坐标（4，2）．
当x=4，y=2时，z最大，zmax=2×4+3×2=14（万元）．
教师可作以下示范解答
解：设……，依题意，得不等式组：
作平面区域（如图），
设……，依题意，得目标函数z=2x+3y．
作直线2x+3y=0，平移之，经过点M时，z最大．
由x=4，x+2y=8得点M的坐标（4，2）．
因此，当x=4，y=2时，z最大，zmax=2×4+3×2=14（万元）． 问题6：什么是线性规划问题？
设计意图：在学生已经获得感性认识的基础上，给出线性规划的相关概念．
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题．线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成，其中可行域是可行解的集合，可行解是满足约束条件的解．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．
结合本例，让学生思考最优解、可行解、可行域有怎样的关系？
教师总结，最优解一定是可行解，可行解的集合即可行域；最优解一般位于可行域的边界上．并进一步概括解线性规划问题的步骤，可简化为5个字：建、画、移、求、答．
建：建立线性规划的数学模型（约束条件和目标函数）
画：画出线性约束条件所表示的可行域；
移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
求：通过解方程组求出最优解；
答：回答问题，写出答案． 设计意图：通过目标函数的不同变式，让学生熟悉最优解的求法，尤其是y的系数为负的情况．借助“几何画板”软件集中呈现目标函数的图形变化，能提高课堂效率，建立精准的数形联系．
问题7：如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，如何安排生产利润最大？
目标函数为，直线与y轴的交点的横坐标为．
作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（4，2）时，直线与y轴的交点最高，即x=4，y=2时， z取最大值，且zmax=16．
问题8：如果每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利4万元，如何安排生产利润最大？
目标函数为，直线与y轴的交点的横坐标为．
作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（2，3）或（4，2）时，直线与y轴的交点最高，即x=2，y=3或x=4，y=2时， z取最大值，且zmax=16．
问题9：如果每生产一件甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利4万元，如何安排生产利润最大？
目标函数为，直线与y轴的交点的横坐标为．
作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（2，3）时，直线与y轴的交点最高，即x=2，y=3时， z取最大值，且zmax=14．
问题10：如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品亏损2万元，如何安排生产利润最大？
让学生先猜测；注意：z的最大值→直线z=3x－2y在y轴上的截距－z/2的最小值．
目标函数为，直线与y轴的交点的横坐标为．
作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（4，0）时，直线与y轴的交点最低，即x=4，y=0时， z取最大值，且zmax=12．
猜测与实际运算结果相符吗？问题出在哪？
教师可借助Exel针对对所有可行解，求出生产利润．
x y z=3x－2y
0 0 0
0 1 -2
… … …
4 1 10
4 2 8
教学时，对于每一种变式，都需要学生首先明确：
（1）问题满足的不等式组是什么？对应怎样的可行域？
（2）目标函数是什么？对应怎样的直线（系）？
（3）求目标函数的最大值，还是最小值？关注对应的直线（系）与y轴的交点的最高点，还是最低点？