Question

高等数学微分方程问题？

若曲线由方程x+e^2y=4-2e^(xy)确定，求此曲线在x=1处的切线方程.
告诉方法！要全过程！

Answer 1

解：∵把x=1代入曲线方程得1+e^(2y)=4-2e^y
==>e^(2y)+2e^y-3=0
==>(e^y+3)(e^y-1)=0
又e^y>0
∴e^y-1=0 ==>e^y=1 ==>y=0
∴切点的坐标是(1,0)
∵对原方程两端求关于x导数
得1+2y'e^(2y)=-2(y+xy')e^(xy)
==>1+2y'e^(2y)=-2ye^(xy)-2xy'e^(xy)
==>2(e^(2y)+xe^(xy))y'=-1-2ye^(xy)
==>y'=[-1-2ye^(xy)]/[2(e^(2y)+xe^(xy))]
把切点的坐标(1,0)代入y',得y'=-1/4
∴过点(1,0),且斜率是-1/4的直线方程是y=-(x-1)/4
故此曲线在x=1处的切线方程是y=-(x-1)/4

Answer 2

当x=1时，带入方程知道。
1+e^2y=4-2e^y
整理得
e^2y+2e^y=3
吧e^y看成一个整体，求上面这个2次方程，并且注意到e^y>0就可以得到
e^y=1
对算式x+e^2y=4-2e^(xy)两边求微分有
1+2(e^2y)y'=-2(e^xy)xy'
带入x=1和e^y=1得到
y'=-0.25