Question

行列式某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积等于零，怎么证明？书上看不懂

Answer 1

分析】书上的证明是没错的。书上是用了行列式的以下两个性质
①存在完全相同的两行（列）的行列式值为零；
②行列式中某元素aij的余子式的值，与该元素aij的数值无关。（这点是理解此题的关键）

设原行列式 An =
a11 a12 …… a1n
a21 a22 …… a2n
a31 a32 …… a3n
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 i 行）
…………………………
aj1 aj2 …… ajn ← — — — —（第 j 行）
…………………………
an1 an2 …… ann

于是，书上构造了一个新的行列式 Bn。Bn是将原行列式An的第 j 行元素用第 i 行元素替换得来的。（An与Bn是两个数值完全不相等的行列式，要搞清楚！）
即，Bn =
a11 a12 …… a1n
a21 a22 …… a2n
a31 a32 …… a3n
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 i 行）
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 j 行）
…………………………
an1 an2 …… ann

由于An与Bn除了第 j 行元素外，其余所有数字都对应相等，
所以便有，An 与 Bn分别按第 j 行元素展开的余子式对应相等，即Bjk=Ajk （k=1，2，……，n）
（**注：理解好这一步是理解全题的关键）

所以Bn按第 j 行展开，得
Bn=ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn

而∵Bn存在两行完全相同的元素，
∴Bn = 0
即，ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn =0 （证毕）

以上是我复制别人的，下面是我对他的解答。

他答非所问了。应该反过来推。是由bn推到An的。在Bn中， ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn =0。记住ai1，ai2，ai3......ain是数值。且这个式子里的ai1,ai2....ain是第j行的元素。。我们把它换掉，换成第i行的元素。式子仍然是这个式子。ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn =0 但是意义不同.这里的式子是第i行的元素与第j行的代数余子式相乘的积的和=0。在Bn中，把第j行的数值可以换成任意的数值。如果换成了aj1,aj2,ajn。那么就得到了An。那么在An中 ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn =0仍然成立。因为Ajk=Bjk。An中的第i行元素与Bn中的第i行元素一样。所以就这个式子ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn =0 就适用于An了。