Question

如图，已知：△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ//AB，P点在AC上（与点A、C不重合）,Q点在BC上．

如图，已知：△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ//AB，P点在AC上（与点A、C不重合）,Q点在BC上．（l）当△PQC的面积与四边形PABQ
的面积相等时，求CP的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；（3）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．
要有过程

Answer 1

（1）由S△ABC=1/2×3×4=6，

∴S△PQC=6÷2=3，

由PQ‖AB，AC=4，BC=3，

设PC=4x，QC=3x，

得：1/2×4x×3x=3，

x=±√2/2，（x=-√2/2舍去）

∴x=√2/2，即PC=2√2,QC=3√2/2.

(2)设PC=4t，QC=3t，PQ=5t，

PA=4-4t，BQ=3-3t，

∴3t+4t+5t=（3-3t）+（4-4t）+5t+5

t=6/7

∴PC=4t=24/7.

（3）符合条件的M点是存在的。

①设QM=PM=x,∠OMQ=90°,

BQ=3-x，PA=4-x，

由QM‖AC,

∴(3-x)/x=x/(4-x),

12-7x+x²=x²,

∴x=12/7.

∴PQ²=(12/7)²+(12/7)²

PQ²=288/49,

∴PQ=12√2/7. 

②设PQ=QM=5x，∠MQP=90°，

QC=3x，PC=4x，

由△BMQ∽△QCP，

∴（3-3x）/5x=5x/4x，

x=12/37.

∴PQ=5x=60/37.

③设PQ=PM=5x，∠MPQ=90°，

QC=3x，PC=4x，PA=4-4x，

由△PQC∽△APM，

∴3x/5x=5x/（4-4x）

x=12/37，

∴PQ=5x=60/37.

Answer 2

（1）由S△ABC=1/2×3×4=6，
∴S△PQC=6÷2=3，
由PQ‖AB，AC=4，BC=3，
设PC=4x，QC=3x，
得：1/2×4x×3x=3，
x=±√2/2，（x=-√2/2舍去）
∴x=√2/2，即PC=2√2,QC=3√2/2.
(2)设PC=4t，QC=3t，PQ=5t，
PA=4-4t，BQ=3-3t，
∴3t+4t+5t=（3-3t）+（4-4t）+5t+5
t=6/7
∴PC=4t=24/7.
（3）符合条件的M点是存在的。
设QM=PM=x,∠OMQ=90°,
BQ=3-x，PA=4-x，
由QM‖AC,
∴(3-x)/x=x/(4-x),
12-7x+x²=x²,
∴x=12/7.
∴PQ²=(12/7)²+(12/7)²
PQ²=288/49,
∴PQ=12√2/7.