Question

数学求助 向量空间里 ｛(x,y,z,w)€R4|x-y+z-w=0}=span{(1,1,0,0

数学求助
向量空间里
｛(x,y,z,w)€R4|x-y+z-w=0}=span{(1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1)}
怎么证明

Answer 1

四个变量一个等式，说明有三个是自由的，只有一个是受约束的，
因此这个空间是三维的。
右边的三个显然是无关的，且都满足左边方程，因此它们是左边空间的基。
所以左边的空间是右边三个向量的生成空间。（完）

追问

能讲细点吗如果不给你这个span的结果 怎么求出答案

追答

Answer 2

(0,x,y,z) 这4个分量中, z是不受约束的
由于 x+y=0, 所以 x,y中一个是自由的一个是受约束的
即空间中任一向量的形式为 (0, x, -x, z) = x(0,1,-1,0) +z (0,0,0,1)
所以 基为 (0,1,-1,0) , (0,0,0,1)
所以 维数为 2

追问

能讲细点吗如果不给你这个span的结果 怎么求出答案