Question

多元函数微分学的题目 第九题谁会啊大神帮忙啊，答案我也没看懂

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Answer 1

图中的角标看不到。照片能拍清楚点吗？

追问

嗯嗯好的谢谢你等我下

这下应该可以了，

谢谢帮我看下

追答

题目还是不行，我就从答案反推了。

题解的第一行就是复合函数求导公式，如果不好理解可以记m=2x，那么左边就是：

结合已知条件就知道，上式的第一部分等于x，注意题目中的符号与上式符号的对应关系。接下来的计算也是同样的道理，关键是注意函数的传递关系为：

f为二元函数，包括x和m两个自变量。而m又是x的一元函数，所有对x的求导必须考虑m。

【实际上多元函数微分学没有什么难度，关键是搞清楚各个符号之间的关系】

追问

我觉得你说的很有道理但是我第三行第四行还是看不懂

怎么样就等于0了

追答

还是我原来的符号体系，第三、四行中继续对x求导，就要把上一步得到的一阶导数继续求导，注意这个一阶导数也是二元函数：

再结合已知条件可知：

则之前的两式就相当于二元一次方程组，解方程就得到了待求的结果。

追问

划线部分为什么是相等的呢

?

追答

看已知条件

追问

没有说二阶连续可偏导，求解为什么这里他们相等，我这题就这里不会

追答

根据已知条件，f``xx=f``yy，显然二阶连续可偏导的条件已经蕴含在里面了，那么f``xy=f``yx就显而易见了。

追问

我问下这个帮忙回答下

追答

要看x和y是否相关，一般来说：
第一项=(∂f/∂x)(dx/dy)+∂f/∂y
第二项=(∂f/∂x)[d(2y)/dx]+(∂f/∂y)
特别的当x和y不相关时，即dy/dx=0，dx/dy=0，上面两项相等。

追问

你写的第二项＋后面应该是x吧

第二项是对x求偏导，

是吗

追答

就是对y。注意题目中x和y的顺序，这里写y表示对第二个自变量求偏导数。
这也是书上有时把角标写成1、2的原因。
P。S。题主是在准备考研吗？

追问

题目中的xy永远都是指的函数对x或者y的偏导数，而考研命题组的答案都是f1 f2，我这个跟老师核实过

追答

改1、2角标的写法：
第一项=(f`1)(dx/dy)+(f`2)
第二项=(f`1)[d(2y)/dx]+(f`2)

追问

那两项就是相等的吗

xy没有关系

追答

Yes，相等。

追问

那这两个也相等吧

是吗

追答

主要是要搞清楚符号的含义，例如本题函数的传递关系为：f→x，y；y→x。那么一阶偏导就是：
∂f/∂x，∂f/∂y

由于xy相关所以同时还有一阶导数存在：
df/dx=(∂f/∂x)+(∂f/∂y)(dy/dx)

df/dy=(∂f/∂x)(dx/dy)+(∂f/∂y)
可能之前的回答不够准确。下方两式的比较，若求的是偏导数，那么无论xy是否相关均成立。如求的是导数，则与xy的关系有关，一般情况下不相等。
f`y（x，y）=f`2
f`x（2y，x）=f`2
最后问的这个二阶偏导数在y=2x时成立。如没有说明x和y的关系，那么无论求导顺序如何均成立（当然基本前提是f要满足连续可导条件）。