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例谈《二元一次方程组》中数学思想方法的渗透
四川营山金华希望小学校 屠欣
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育，是培养和提高学生素质的重要内容。新的《课程标准》突出强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”因此，开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。
二元一次方程组的解法，实质上是运用数学转化思想，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解决的。具体转化的方法是运用“代入消元法”或“加减消元法”，达到把二元一次方程组中的“二个未知数”消去一个未知数，得到一元一次方程，实现了化“未知”为“已知”，进而解决的。这里蕴涵了丰富的数学思想方法，我在教学中向学生逐步渗透。下面举例说明：
一、灵活运用代入法，巧妙求值：
代入法是在解二元一次方程组时，通过把方程组中的一个方程变形为用含一个未知数的数学式表示另一个未知数的形式，然后再把它代入到另一个方程中，从而达到消去一个未知数的目的，得到一个一元一次方程，进而解决。借助此思想方法可以解决常规求定值问题。
例1.若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于 。
解. 由5x-6y=0得：5x=6y，把5x=6y代入得解。
反思：此题巧妙借助代入法可轻松解决。
变式练习：若2x-3y=0，且xy≠0，则的值等于
例2. 若4x+3y+5=0，则3(8y－x)－5(x+6y－2)的值等于_________；
分析：通过审题容易知道，可以先将3(8y－x)－5(x+6y－2)化简得
-8x－6y+10，再利用整体代入或部分代入易求出其值。
解：∵4x+3y+5=0，
∴4x+3y=-5
3(8y－x)－5(x+6y－2)
= 24 y-3x-5x-30y+10
=－8x－6y+10
=-2（4x+3y）+10
=－2×（-5）+10
=20
反思：此题也可以由4x+3y+5=0得x=－，在代入求值。
二、巧妙运用加减法，快速求值：
加减法是通过把方程组中的某一个未知数的系数变为相同或相反数，然后，运用两个方程相加或相减，即某一个未知数的系数变为相同时用减法；某一个未知数的系数变为相反数时用加法，从而达到消去一个未知数的目的，得到一个一元一次方程，进而解决。另外在求值题中合理运用加减法，可以收到事半功倍的效果。
例3. 若2x+3y=16，且3x+2y=19，则 .
分析：若直接把2x+3y=16和3x+2y=19联立解方程组，在把解代入求值，运算量较大，且易出错；如果认真分析所求值式，可考虑利用加减法很快求得x+y和x-y的值，于是此题迎刃而解.
解：由题意得：
由1+2得：5x+5y=35
x+y=5
由2－1得：x－y=3
所以
x=4,y=1
注：此题若看作关于x、y的二元一次方程组先求x、y的值，再代入计算就显得非常繁琐，若巧妙运用“加减法”基本思想方法，就会收到奇效。三、化“未知”为 “已知”，渗透转化.
四川营山金华希望小学校 屠欣
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育，是培养和提高学生素质的重要内容。新的《课程标准》突出强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”因此，开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。
二元一次方程组的解法，实质上是运用数学转化思想，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解决的。具体转化的方法是运用“代入消元法”或“加减消元法”，达到把二元一次方程组中的“二个未知数”消去一个未知数，得到一元一次方程，实现了化“未知”为“已知”，进而解决的。这里蕴涵了丰富的数学思想方法，我在教学中向学生逐步渗透。下面举例说明：
一、灵活运用代入法，巧妙求值：
代入法是在解二元一次方程组时，通过把方程组中的一个方程变形为用含一个未知数的数学式表示另一个未知数的形式，然后再把它代入到另一个方程中，从而达到消去一个未知数的目的，得到一个一元一次方程，进而解决。借助此思想方法可以解决常规求定值问题。
例1.若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于 。
解. 由5x-6y=0得：5x=6y，把5x=6y代入得解。
反思：此题巧妙借助代入法可轻松解决。
变式练习：若2x-3y=0，且xy≠0，则的值等于
例2. 若4x+3y+5=0，则3(8y－x)－5(x+6y－2)的值等于_________；
分析：通过审题容易知道，可以先将3(8y－x)－5(x+6y－2)化简得
-8x－6y+10，再利用整体代入或部分代入易求出其值。
解：∵4x+3y+5=0，
∴4x+3y=-5
3(8y－x)－5(x+6y－2)
= 24 y-3x-5x-30y+10
=－8x－6y+10
=-2（4x+3y）+10
=－2×（-5）+10
=20
反思：此题也可以由4x+3y+5=0得x=－，在代入求值。
二、巧妙运用加减法，快速求值：
加减法是通过把方程组中的某一个未知数的系数变为相同或相反数，然后，运用两个方程相加或相减，即某一个未知数的系数变为相同时用减法；某一个未知数的系数变为相反数时用加法，从而达到消去一个未知数的目的，得到一个一元一次方程，进而解决。另外在求值题中合理运用加减法，可以收到事半功倍的效果。
例3. 若2x+3y=16，且3x+2y=19，则 .
分析：若直接把2x+3y=16和3x+2y=19联立解方程组，在把解代入求值，运算量较大，且易出错；如果认真分析所求值式，可考虑利用加减法很快求得x+y和x-y的值，于是此题迎刃而解.
解：由题意得：
由1+2得：5x+5y=35
x+y=5
由2－1得：x－y=3
所以
x=4,y=1
注：此题若看作关于x、y的二元一次方程组先求x、y的值，再代入计算就显得非常繁琐，若巧妙运用“加减法”基本思想方法，就会收到奇效。三、化“未知”为 “已知”，渗透转化.
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线性方程组的解法；矩阵特征值与特征向量的计算；非线性方程与非线性方程组的迭代解法；插值与逼近；数值积分；常微分方程初值问题的数值解法和偏微分方程的差分解法。内容丰富，系统性强，其深广度适合工学硕士生的培养要求。本书语言简练、流畅，数值例子和习题非常丰富。
商品信息
本书是为工学硕士研究生开设数值分析课而编写的学位课教材。内容包括：线性方程组的解法；矩阵特征值与特征向量的计算；非线性方程与非线性方程组的迭代解法；插值与逼近；数值积分；常微分方程初值问题的数值解法和偏微分方程的差分解法。内容丰富，系统性强，其深广度适合工学硕士生的培养要求。本书语言简练、流畅，数值例子和习题非常丰富。
【目录】
第一章 绪 论 1�
1.1 数值分析的研究对象 1�
1.2 误差知识与算法知识 1�
1.2.1 误差 的来源与分类 1�
1.2.2 绝对误差、相对误差与有 效数字 3�
1.2.3 函数求值的误差估计 5�
1.2.4 算法及其计算复杂性 7�
1.3 向量范数与矩 阵范数 10�
1.3.1 向量范数 10�
1.3.2 矩阵范数 12�
习 题 18�
第二章 线性方程组 的解法 21�
2.1 Gauss消去法 22�
2.1.1 顺序Gauss消去法 23�
2.1.2 列主元素Gauss消去法 25�
2.2 直接三角分解法 28�
2.2.1 Doolittle分解法与Crout分解法 28�
2.2.2 选主 元的Doolittle分解法 34�
2.2.3 三角分解法解带状 线性方程组 37�
2.2.4 追赶法求解三对角线性方程 组 41�
2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法 43 �
2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组 45�
2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的性态 45�
2.3.2 关于病态线性方法组的求解问题 48�
2.4 迭代 法 51�
2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性 51 �
2.4.2 Jacobi迭代法 55�
2.4.3 Gauss�Seidel迭代法 60�
2.4.4 逐次超松弛迭 代法 64�
习 题 69�
第三章 矩阵特征值与特 征向量的计算 74�
3.1 幂法和反幂法 74�
3.1.1 幂 法 74�
3.1.2 反幂法 79�
3.2 Jacobi方法 81�
3.3 QR方法 87�
3.3.1 矩阵的QR分解 87�
3.3.2 矩阵的拟上三角化 92�
3.3.3 带双步位移的QR方法 95�
习 题 100�
第四章 非线性方程与非线性方法组的迭代 解法 103�
4.1 非线性方程的迭代解法 103�
4.1.1 对分法 103�
4.1.2 简单迭代法及其收敛 性 104�
4.1.3 简单迭代法的收敛速度 109�
4.1.4 Steffensen加速收敛方法 112�
4.1.5 Newton法 115�
4.1.6 求方程m重根的 Newton法 120�
4.1.7 割线法 123�
4.1.8 单点割线法 127�
4.2 非线性方程组的迭代 解法 131�
4.2.1 一般概念 131�
4.2.2 简单迭代法 134�
4.2.3 Newton法 138�
4.2.4 离散Newton法 140�
习 题 142�
第五章 插值与逼近 144�
5.1 代数插值 144�
5.1.1 一元函数插值 144�
5.1.2 二元函数插值 152�
5.2 Hermite插值 156�
5.3 样条插 值 160�
5.3.1 样条函数 160�
5.3.2 三次样条插值问题 166�
5.3.3 B样条为基底的三次样 条插值函数 168�
5.3.4 三弯矩法求三次样条插值 函数 172�
5.4 三角插值与快速Fourier变换 177�
5.4.1 周期函数的三角插值 177�
5.4.2 快速Fourier变换 180�
5.5 正交多项式 183�
5.5.1 正交多项式概念与性质 183�
5.5.2 几种常 用的正交多项式 187�
5.6 函数的最佳平方逼近 193 �
5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法 193�
5.6.2 正交函数系在最佳平方逼近中的应用 197�
5.6.3 样条函数在最佳平方逼近中的应用 203�
5.6.4 离散型的最佳平方逼近 205�
5.6.5 曲线拟 合与曲面拟合 207�
习 题 219�
第六章 数值积 分 226�
6.1 求积公式及其代数精度 226�
6.2 插值型求积公式 228�
6.3 Newton�Cotes求积 公式 230�
6.4 Newton�Cotes求积公式的收敛性与数 值稳定性 236�
6.5 复化求积法 237�
6.5.1 复化梯形公式与复化Simpson公式 237�
6.5.2 区 间逐次分半法 242�
6.6 Romberg积分法 244�
6.6.1 Richardson外推技术 244�
6.6.2 Romberg 积分法 247�
6.7 Gauss型求积公式 249�
6.7.1 一般理论 249�
6.7.2 几种Gauss型求积公式 255�
6.8 二重积分的数值求积法 263�
6.8.1 矩形域上的二重积分 263�
6.8.2 一般区 域上的二重积分 266�
习 题 267
商品信息
本书是为工学硕士研究生开设数值分析课而编写的学位课教材。内容包括：线性方程组的解法；矩阵特征值与特征向量的计算；非线性方程与非线性方程组的迭代解法；插值与逼近；数值积分；常微分方程初值问题的数值解法和偏微分方程的差分解法。内容丰富，系统性强，其深广度适合工学硕士生的培养要求。本书语言简练、流畅，数值例子和习题非常丰富。
【目录】
第一章 绪 论 1�
1.1 数值分析的研究对象 1�
1.2 误差知识与算法知识 1�
1.2.1 误差 的来源与分类 1�
1.2.2 绝对误差、相对误差与有 效数字 3�
1.2.3 函数求值的误差估计 5�
1.2.4 算法及其计算复杂性 7�
1.3 向量范数与矩 阵范数 10�
1.3.1 向量范数 10�
1.3.2 矩阵范数 12�
习 题 18�
第二章 线性方程组 的解法 21�
2.1 Gauss消去法 22�
2.1.1 顺序Gauss消去法 23�
2.1.2 列主元素Gauss消去法 25�
2.2 直接三角分解法 28�
2.2.1 Doolittle分解法与Crout分解法 28�
2.2.2 选主 元的Doolittle分解法 34�
2.2.3 三角分解法解带状 线性方程组 37�
2.2.4 追赶法求解三对角线性方程 组 41�
2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法 43 �
2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组 45�
2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的性态 45�
2.3.2 关于病态线性方法组的求解问题 48�
2.4 迭代 法 51�
2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性 51 �
2.4.2 Jacobi迭代法 55�
2.4.3 Gauss�Seidel迭代法 60�
2.4.4 逐次超松弛迭 代法 64�
习 题 69�
第三章 矩阵特征值与特 征向量的计算 74�
3.1 幂法和反幂法 74�
3.1.1 幂 法 74�
3.1.2 反幂法 79�
3.2 Jacobi方法 81�
3.3 QR方法 87�
3.3.1 矩阵的QR分解 87�
3.3.2 矩阵的拟上三角化 92�
3.3.3 带双步位移的QR方法 95�
习 题 100�
第四章 非线性方程与非线性方法组的迭代 解法 103�
4.1 非线性方程的迭代解法 103�
4.1.1 对分法 103�
4.1.2 简单迭代法及其收敛 性 104�
4.1.3 简单迭代法的收敛速度 109�
4.1.4 Steffensen加速收敛方法 112�
4.1.5 Newton法 115�
4.1.6 求方程m重根的 Newton法 120�
4.1.7 割线法 123�
4.1.8 单点割线法 127�
4.2 非线性方程组的迭代 解法 131�
4.2.1 一般概念 131�
4.2.2 简单迭代法 134�
4.2.3 Newton法 138�
4.2.4 离散Newton法 140�
习 题 142�
第五章 插值与逼近 144�
5.1 代数插值 144�
5.1.1 一元函数插值 144�
5.1.2 二元函数插值 152�
5.2 Hermite插值 156�
5.3 样条插 值 160�
5.3.1 样条函数 160�
5.3.2 三次样条插值问题 166�
5.3.3 B样条为基底的三次样 条插值函数 168�
5.3.4 三弯矩法求三次样条插值 函数 172�
5.4 三角插值与快速Fourier变换 177�
5.4.1 周期函数的三角插值 177�
5.4.2 快速Fourier变换 180�
5.5 正交多项式 183�
5.5.1 正交多项式概念与性质 183�
5.5.2 几种常 用的正交多项式 187�
5.6 函数的最佳平方逼近 193 �
5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法 193�
5.6.2 正交函数系在最佳平方逼近中的应用 197�
5.6.3 样条函数在最佳平方逼近中的应用 203�
5.6.4 离散型的最佳平方逼近 205�
5.6.5 曲线拟 合与曲面拟合 207�
习 题 219�
第六章 数值积 分 226�
6.1 求积公式及其代数精度 226�
6.2 插值型求积公式 228�
6.3 Newton�Cotes求积 公式 230�
6.4 Newton�Cotes求积公式的收敛性与数 值稳定性 236�
6.5 复化求积法 237�
6.5.1 复化梯形公式与复化Simpson公式 237�
6.5.2 区 间逐次分半法 242�
6.6 Romberg积分法 244�
6.6.1 Richardson外推技术 244�
6.6.2 Romberg 积分法 247�
6.7 Gauss型求积公式 249�
6.7.1 一般理论 249�
6.7.2 几种Gauss型求积公式 255�
6.8 二重积分的数值求积法 263�
6.8.1 矩形域上的二重积分 263�
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