Question

求第16题的详细解答

Answer 1

16. 求微分方程y''+2y'-2y=(e^x)sinx的通解
解: 齐次方程 y''+2y'-2y=0的特征方程 r²+2r-2=0的根r₁=-1+√3; r₂=-1-√3；
因此齐次方程的通解y=C₁e^(-1+√3)+C₂e^(-1-√3).
设原方程的一个特解 y*=(e^x)(asinx+bcosx),则
y*'=(e^x)(asinx+bcosx)+(e^x)(acosx-bsinx)=(e^x)[(a-b)sinx+(a+b)cosx]
y*''=(e^x)[(a-b)sinx+(a+b)cosx]+(e^x)[(a-b)cosx-(a+b)sinx]
=(-2bsinx+2acosx)(e^x)
代入原式得：
(-2bsinx+2acosx)(e^x)+2(e^x)[(a-b)sinx+(a+b)cosx]-2(e^x)(asinx+bcosx)
=(-4bsinx+4acosx)(e^x)=(e^x)sinx
故b=-1/4；a=0.
于是得y*=-(1/4)(e^x)cosx
∴原方程的通解为y=C₁e^(-1+√3)+C₂e^(-1-√3)-(1/4)(e^x)cosx.

Answer 2

追问

有不假设的方法吗

追答

因为e^x导数是其本身，cosx导数是-sinx，sinx导数是cosx，所以就这几种可能，先写出来一个，就能知道结果了，我不会不假设的！